【数学】二维直线

【数学】二维直线

基本概念

  • 斜率：直线中 y 相对 x 坐标的变化率。
  • 截距：直线与坐标轴交点到原点的距离。
    • 横截距：直线与 x 轴的截距。
    • 纵截距：直线与 y 轴的截距。

方程表示

两点式

根据直线的基本定义，若已知直线上的任意两点 (x1,y1)(x_1,y_1) 和 (x2,y2)(x_2,y_2)，则根据其关系（斜率一致）可得直线的两点式方程：

y−y1y2−y1=x−x1x2−x1\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

  • 斜率：k=y2−y1x2−x1\displaystyle k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

截距式

若已知直线过坐标轴的两点 (a,0),(0,b)(a,0),(0,b) ，则根据两点式方程有：

y−0b−0=x−a0−ayb=x−a−ayb=−xa+1xa+yb=1 \begin{aligned} \frac{y-0}{b-0} &= \frac{x-a}{0-a}\\ \frac{y}{b} &= \frac{x-a}{-a} \\ \frac{y}{b} &= -\frac{x}{a}+1 \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} &= 1 \\ \end{aligned}

故当已知直线的横截距 aa 和纵截距 bb ，可得直线的截距式方程：

xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

点斜式

根据直线的基本定义，若已知直线中一点 (x1,y1)(x_1,y_1)，以及直线斜率 kk，可根据其关系得到最基本的直线点斜式方程：

y−y1=k(x−x1)y-y_1=k(x-x_1)

一般式

若已知直线上的任意两点 (x1,y1)(x_1,y_1) 和 (x2,y2)(x_2,y_2)，则根据点斜式方程和斜率的定义可得：

y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)(y−y1)(x2−x1)=(y2−y1)(x−x1)y(x2−x1)−y1(x2−x1)=x(y2−y1)−x1(y2−y1)x(y1−y2)+y(x2−x1)=−x1y2+x1y1+y1x2−y1x1x(y1−y2)+y(x2−x1)+x1y2−y1x2=0 \begin{aligned} y-y_1 &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\\ (y-y_1)(x_2-x_1) &=(y_2-y_1)(x-x_1)\\ y(x_2-x_1) -y_1(x_2-x_1) &= x(y_2-y_1)-x_1(y_2-y_1)\\ x(y_1-y_2)+y(x_2-x_1)&=-x_1y_2+x_1y_1+y_1x_2-y_1x_1 \\ x(y_1-y_2)+y(x_2-x_1)+x_1y_2-y_1x_2&=0 \\ \end{aligned}

可以观察到，当 x1=x2,y1=y2x_1=x_2,y_1=y_2 时，即直线不存在时，上述公式依然成立（两边都得 0）。实际上用一般式表示直线的一个很大的优势就是兼容性很强。

最终我们可以得到直线的一般式表示方程：

Ax+By+C=0Ax+By+C=0

  • A=y1−y2A=y_1-y_2
  • B=x2−x1B=x_2-x_1
  • C=x1y2−y1x2C=x_1y_2-y_1x_2
  • 斜率：k=y2−y1x2−x1=−ABk=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-A}{B}

若将一般式进一步变形为截距式：

Ax+By+C=0Ax+By=−CA−Cx+B−Cy=1x−CA+y−CB=1 \begin{aligned} Ax+By+C &= 0 \\ Ax+By &= -C \\ \frac{A}{-C}x+\frac{B}{-C}y &= 1 \\ \frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}} &= 1 \end{aligned}

故可得一般式参数与截距的关系：

  • 横截距：a=−CAa=-\frac{C}{A}
  • 纵截距：b=−CBb=-\frac{C}{B}

斜截式

若将直线的一般式变形为对 y 的显函数形式，有：

Ax+By+C=0By=−Ax−Cy=−ABx−CB \begin{aligned} Ax+By+C &= 0 \\ By &= -Ax-C \\ y &=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} \end{aligned}

而恰巧 −AB-\frac{A}{B} 为斜率，−CB-\frac{C}{B} 为纵截距。故当已知直线的斜率 kk 和直线的纵截距 bb，则可得直线的斜截式方程：

y=kx+by=kx+b

  • k=−ABk=-\frac{A}{B}
  • b=−CBb=-\frac{C}{B}

相交计算

求解两直线交点

已知两条直线，计算出它们的斜截式方程（斜截式便于使用消元法）：

  • y=k1x+b1y=k_1x+b_1
  • y=k2x+b2y=k_2x+b_2

利用带入消元法求解 x：

k1x+b1=k2x+b2k1x−k2x=b2−b1(k1−k2)x=b2−b1x=b2−b1k1−k2 \begin{aligned} k_1x+b_1 &=k_2x+b_2\\ k_1x-k_2x &= b_2-b_1\\ (k_1-k_2)x&=b_2-b_1\\ x&=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2} \end{aligned}

再带回 x 即可得出 y：

y=k1(b2−b1k1−k2)+b1 \begin{aligned} y=k_1(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2})+b_1 \end{aligned}

故最终可得，两直线的交点为：

(b2−b1k1−k2,k1(b2−b1k1−k2)+b1)(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2},k_1(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2})+b_1)

【数学】二维直线
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作者
BDFFZI
发布于
2025年3月27日
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