【基于物理的渲染（2）】Cook-Torrance

BRDF

BRDF 直译为双向散射分布函数，是一种解释光反射强度的模型。双向散射是指其将反射光描述为由镜射光和漫射光两种。基于物理的 BRDF 说明该公式不能是传统的经验模型，而是遵循各种物理现象而设计的模型。

漫射光

漫射光是指光线射入物体内部，在内部多次反弹后返回的光，这类光容易被物体吸收，且反射的方向无序，因此反光将均匀的分布在照射区域。

镜射光

镜射光是指光线仅触碰表面一次就反射的光，这种光与多种系数有关，例如表面的光滑度，观察的角度等，故光斑可变，且有可能发生一定的全反射（光未被表面吸收）。

Cook-Torrance

CookTorrance 是最常用的基于物理的 BDRF，相比过去的一些经验模型，它的效果更加真实，符合物理规律。CookTorrance 中有很多过去 Lambert 和 Phong 的影子，可以说就是由它们为基础慢慢发展出的新时代光照模型，也是目前主流的光照模型。

微表面属性

从Phong开始就有了考虑不同表面光泽度而显示不同高光的效果，Cook-Torrance也不例外，用其计算光照，需先提供一些微表面属性信息。

• albedo（反射率）：决定了物体表面对不同波段光的反射率（不被吸收率，也可简单理解为物体表面颜色）。
• metallic（金属度）：控制漫射光和镜射光之间的比例，以及镜射光颜色。金属度越高，漫射越少，镜射越多，镜射颜色越接近物体表面颜色。
• smoothness（光滑度）：物体表面的光滑程度，用于控制镜射光的形状特征。

基本公式结构

基本的 CookTorrrance 光照模型结构如下：

$$CookTorrance = k_d + k_s * f_s$$

• $k_d$：表面对每单位漫射光的反射率。
• $k_s$：表面对每单位镜射光的反射率。
• $f_s$：镜射系数，表示有多少光会被直接反射进眼睛。

反射率计算

根据能量守恒 $k_d+k_s=1$，而两者之间的权重分配则采用金属度系数决定：

$$k_d = lerp(1,0,metallic) \\ k_s = lerp(0,1,metallic)$$

但现实中的一般物体是不可能全漫射的，即使是黑色表面，遇到强光也会反射出镜射光，因此需要提供一定的保底全反射，该全反射的系数一般为 0.04（标准介电镜面反射）：

$$k_d = lerp(0.96,0,metallic) \\ k_s = lerp(0.04,1,metallic)$$

反射光的光不一定和入射光颜色一样，因为很多物体的表面也会吸收部分波段的光，因此计算时还需要考虑表面的基础反照率（表面颜色）：

$$k_d = lerp(0.96 * albedo,0,metallic) \\ k_s = lerp(0.04,1 * albedo,metallic)$$

镜射系数计算

镜射系数的计算公式如下：

$$f_s = \frac{D*G*F}{4(N \cdot L)(N \cdot V)}$$

• $N$：法线方向
• $L$：光源方向
• $V$：相机方向

在部分资料中该公式的分母系数 $(N \cdot L_m)_(N \cdot V)$ 可能会被去除，因为这部分可以被 $G$ 中的分子约分。但如果不去除的话，可以确保 $G \in [0,1]$，直观上看，这样会更能表现公式的物理效果。

其中 D、G、F 是三个可插拔的系数，用于反应 3 种物理现象。可插拔意味着它们是可以更换的，有多种计算方式可供选择，因此可以以此实现渲染效果的定制。

此外 D、G 的计算依赖一个新的系数叫粗糙度，粗糙度可以通过物体表面的光滑度计算得出：

$$a = (1-smoothness)^2$$

法线分布

D 描述表面法线分布情况，具体而言它决定了镜面高光的光斑形状。下述是使用 GGX 计算 D 的方法：

• $H=\operatorname{normalize}(L+V)$：半角向量的缩写。

$$D_{GGX} = \frac{a^2}{\pi((H\cdot N)^2(a^2-1)+1)^2}$$

其中 $\pi$ 是为了归一化，使其光亮的总和符合能量守恒，但有些地方（如 Unity）会故意去掉该项。

几何遮蔽

G 用于表现微表面之间的遮挡导致的光线衰减现象，这在粗糙的表面尤为明显。下述是使用 Smith 计算 G 的方法：

$$G_{Smith} = \frac{(N \cdot L)}{lerp(N \cdot L,1,k)} *\frac{(N \cdot V)}{lerp(N \cdot V,1,k)}$$

$$k=\frac{(a+1)^2}{8}（直接光） 或 \frac{a^2}{2}（间接光）$$

从中可以观察到:

• 光线入射角或观察角度与表面越垂直，光线被遮挡的概率越小。
• 越光滑的表面，光线被遮挡的概率越小。
• 对于直接光始终会被吸收一部分，而环境光可以全反射。

此外还有一种效果接近，但性能更好的方法：

$$G_{SKSm}=\frac{(N \cdot L)(N \cdot V)}{lerp((L \cdot H)^2,1,a)}$$

菲涅尔效应

F 表示一个 0-1 的光线反射率，反应的是现实中的菲涅尔效应，描述了不同折射率的物体在不同观察角度下反射光线不同的特点。一般它的公式采用如下近似值：

$$F = lerp((1-(V \cdot N))^5,1,F_0)$$

$$F_0 = \frac{(r-1)^2}{(r+1)^2}$$

• $F_0$：法向反射率。
• $r$：折射率。

从中可以观察到以下几种现象：

• 折射率越高，菲涅尔效应越明显（如水面）。
• 菲涅尔效应发生时，物体正面反射光线少（能透过湖面看到底），掠角反射光线多（湖面变不透明）。
• 折射率为 0，没有菲涅尔效应，发生全反射。

不过上述菲涅尔公式只能用于透明物体，因为它会使物体表面反射为 0。对于不透明物体，可以需要采用另一种系数计算方法：

$$F_0 = k_s$$

不过该方法将菲涅尔函数的输出由标量改为了向量，且携带了镜射光的反射率信息，因此要修改 CookTorrance 公式，使镜射光部分不要再乘 $k_s$ 了（$k_d+k_sf_s \to k_d+f_s$）。

Unity 中的镜射系数计算

https://community.arm.com/cfs-file/__key/communityserver-blogs-components-weblogfiles/00-00-00-20-66/siggraph2015_2D00_mmg_2D00_renaldas_2D00_notes.pdf

Unity 中对于镜射系数的计算公式如下：

$$\begin{aligned} D &= \frac{a^2}{((H \cdot N)^2(a^2-1)+1)^2} \\ \\ G*F &= \frac{1}{(L \cdot H)^2(a+0.5)}\\ \\ f_s &= \frac{D * G * F}{4} \end{aligned}$$

其中 $D$ 就是 $D_{GGX}$ 方法，但去掉了用于归一化的 $\pi$ ，使画面更亮。

$G*F$ 是拟合的近似公式。在原始公式中，$G$ 使用的是 $G_{SKSm}$，但 $F$ 的公式不清楚，因为原始公式和最终公式的效果并不相同。

$(N \cdot L)(N \cdot V)$被从分子分母中约分以加快速度。

参考资料

• https://graphicscompendium.com/gamedev/15-pbr
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/33464301