【数学】三角函数

• 正弦函数：$\displaystyle \sin{a}=\frac{y}{r}$

• 余弦函数：$\displaystyle \cos{a}=\frac{x}{r}$

• 正切函数：$\displaystyle \tan{a}=\frac{y}{x}$

• 余切函数：$\displaystyle \cot{a}=\frac{x}{y}$

• 正割函数：$\displaystyle \sec{a}=\frac{r}{x}$

• 余割函数：$\displaystyle \csc{a}=\frac{r}{y}$

基本关系式

• 平方关系：$\displaystyle \sin^2a+\cos^2a=1$

• 商数关系：$\displaystyle \frac{\sin{a}}{\cos{a}}=\tan{a}$

诱导公式

三角函数不同参数的等价关系

	公式一	公式二
输入角	$-a$	$\frac{\pi}{2}-a$
sin	$-\sin(a)$	$\cos{a}$
cos	$\cos(a)$	$\sin{a}$
tan	$-\tan(a)$	$\cot{a}$

两角和差公式

证明过程：https://zhuanlan.zhihu.com/p/81418332

• $\cos(a+b)=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}$
• $\cos(a-b)=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}$
• $\sin(a+b)=\sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}$
• $\sin(a-b)=\sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b}$
• $\tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a}\tan{b}}$
• $\tan(a-b)=\frac{\tan{a}-\tan{b}}{1+\tan{a}\tan{b}}$

两倍角公式

• $\cos{2a}=\cos^2{a} - \sin^2{a}$
• $\cos{2a}=2\sin{a}\cos{a}$
• $\tan{2a}=\frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$

半角公式

• $\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-cos(a)}{2}$
• $\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+cos(a)}{2}$
• $\tan^2\frac{a}{2}=\frac{1-cos(a)}{1+cos(a)}$

证明过程

证明 $\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+cos(a)}{2}$：

$\begin{aligned} \cos(a) &= \cos(\frac{a}{2}+\frac{a}{2})\\ &= \cos(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2})-\sin(\frac{a}{2})\sin(\frac{a}{2})\\ &= \cos^2(\frac{a}{2})-\sin^2(\frac{a}{2})\\ &= \cos^2(\frac{a}{2})-(1-\cos^2(\frac{a}{2}))\\ &= 2\cos^2(\frac{a}{2})-1 \end{aligned}$

变形可得：

$\begin{aligned} \cos(a) &= 2\cos^2(\frac{a}{2})-1\\ 2\cos^2(\frac{a}{2}) &= 1+\cos(a)\\ \cos^2(\frac{a}{2}) &= \frac{1+\cos(a)}{2}\\ \end{aligned}$