【数学】微分

定义

函数的微分又叫导数。函数$f(x)$的导数定义如下：

$$f'(x)=\lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{ f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

或者也可以记作如下形式（莱布尼茲记法）：

$$\frac{d f(x)}{dx}=\frac{ f(x + dx) - f(x) } {dx}$$

注意！$\frac{d f(x)}{dx}$中的$f(x)$不放在分号上也可以，替换成 y 表示也可以。并且其中的 $dy$，$dx$ 都是参数而不是符号，本质都是一个未知增量值，这意味它们是可以参与运算和变形的。

计算

求解函数导数的过程叫做“微分法”。利用定义中的公式可以很容易的计算，例如下面计算$\frac{d}{dx}x^2$。

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}x^2 &= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{x^2+2x \Delta{x}+\Delta{x}^2 - x^2}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{2x\Delta{x}+\Delta{x}^2}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta{x} \to 0} 2x+\Delta{x}\\ &= 2x \end{aligned}$

利用此方法便可以学会自行求解导数，或者也可以直接查找导数列表来获得已计算的常用导数：
https://www.shuxuele.com/calculus/derivatives-rules.html

求导法则

虽然可以利用导数列表快速求解导数，但要注意的是，导数计算并不总是满足分配律的，因此必须要学会求导法则，将函数拆解后再确认可用的导数列表项。

• 乘以常数：$(cf)'=cf'$
• 幂次方法则：$(x^n)'=nx^{n-1}$
• 加法（和）法则：$(f+g)'=f'+g'$
• 减法（差）法则：$(f-g)'=f'-g'$
• 乘法（积）法则：$(fg)'=f'g + fg'$
• 除法（商）法则：$(\frac{f}{g})'= \frac{f'g-fg'}{g^2}$
• 倒数法则：$(\frac{1}{f})'=\frac{-f'}{f^2}$
• 链式法则：$(f(g))' = f'(g)g'$

链式法则还支持另一种记法：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

其中$u=f(x),y=f(u)$。相当于先将关于 x 的一部分表达式看成一个完整的自变量（即将其视作 x，因此求导法则也发生变换），以便适配导数列表中的公式来求导，最后再乘上该自变量的实际导数来获取最终结果。

例如求解$\frac{d}{dx}\sin(x^2)$：

1. 设 $x^2=u$，则 $\sin(u)'=\cos(u)$。
2. 而实际 u 的导数为 $(x^2)'=2x$。
3. 两者相乘得 $2x\cos(u)$。
4. 最后还原 u 得到最终结果：$\frac{d\sin(x^2)}{dx}=2x\cos(x^2)$

隐微分法

隐函数一种特殊类型的函数，求解隐函数的导数有两种方法：

1. 转为显函数再求导 $\frac{dy}{dx}$（但有些函数的显函数形式很难求导，甚至不可能）。
2. 对两边直接求导 $\frac{df(x)}{dx}$（此处$f(x) \ne y$，仅代表两边式子），再求解计算过程中出现的 $\frac{dy}{dx}$ 的值。

例如对函数 $10x^4 - 18xy^2 + 10y^3 = 48$ 中由 x 组成的 y 的显函数求导。由于 $y=f(x)$ 的显函数形式无法列出，故采用方法 2 直接两边求导。

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(10x^4 - 18xy^2 + 10y^3) &= \frac{d}{dx}(48)\\ \frac{d}{dx}(10x^4) - \frac{d}{dx}(18xy^2) + \frac{d}{dx}(10y^3) &= 0\\ 40x^3 - ((18x)'y^2 + 18x(y^2)') + 30y^2(y)' &= 0\\ 40x^3 - (18y^2 + 18x*2y(y)') + 30y^2(y)' &= 0\\ 40x^3 - 18y^2 - 36xy(y)' + 30y^2(y)' &= 0\\ -36xy(y)' + 30y^2(y)' &= 18y^2-40x^3\\ -18xy(y)' + 15y^2(y)' &= 9y^2-20x^3\\ 3(5y^2-6xy)y' &= 9y^2-20x^3\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{ 9y^2-20x^3}{3(5y^2-6xy)}\\ \end{aligned}$

此外隐微分法还可用于在根本不知道反函数形式的情况下，求解反函数的导数。例如求解 $\sin^{-1}$：

已知 $y=\sin^{-1}(x)$，则 $x=\sin(y)$，再对该函数求导即可：

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}x &= \frac{d}{dx}\sin(y)\\ 1 &= \cos(y)\frac{dy}{dx}\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\cos(y)}\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}} （基于三角函数 cos^2(x)+sin^2(x)=1 的变形）\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}（带入 x=\sin(y)）\\ \end{aligned}$

隐微分法的作用

1. 因为隐微分法解除的导数通常带有 y 值，因此这种导数可以用于获取一个 x 有多种 y 值函数的坡度，例如圆形公式。
2. 很多函数无法直接求解，但利用隐微分法可以方便的求出它们的导数，再借助导数我们便可以推测出这些函数的大致情况。

二次导数

也即导数的导数，记作：

$$f''(x)=\frac{d^2f(x)}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{d(fx)}{dx}$$

可微分

函数可微分表示该函数存在导数。而有些函数是没有导数的，例如：

• $|x|$不可微分，因为左右极限不同。
• $\lfloor x \rfloor$和$\lceil x \rceil$不可微分，因为整数值之间不连续。
• 当 $x=0$ 时 $x^{\frac{1}{2}}$ 不可微分，因为函数是未定义的（除 0）。

但要注意的时，如果规定了定义域，部分函数也将可微。

可微的函数就可以用微积分处理，同时函数可微表明该函数是连续的。

求解极值

极值是局部（部分定义域）的最值，最值是一个函数的最大或最小值（全部定义域）。

导数可用于求解极值，因为函数的极值处恰好是坡度（函数值增减方向）改变的时候，从极限的角度来看，此处的函数图像是平坦的，所以其导数为 0。

判断极大或极小

利用二次导数，通过导数的变化方向就可猜出当前的极值是极大还是极小：

• 小于 0：导数图像开始下降，说明函数值之前是上升，现在值下降，所以是极大值。
• 大于 0：导数图像开始上升，说明函数值之前是下降，现在值上升，所以是极小值。
• 等于 0：该检测方法无法检测，一般表明是鞍点（函数图像平坦，但不是极值）。

求解上凹下凹和拐点

上凹（也称下凸或凸）和下凹（也称上凸或凹）是两种函数特征。函数图形成碗装，凹槽朝上叫上凹，朝下叫下凹。而在上凹（下凹）变成下凹（上凹）的一个点叫拐点。

将一个凹两边的拐点相连成直线，上凹区间的函数值永远小于该直线，下凹则是永远大于，而这便是上凹和下凹的定义：

$$上凹： f(ta+(1-t)b) \leq tf(a)+(1-t)f(b)$$

$$下凹： f(ta+(1-t)b) \geq tf(a)+(1-t)f(b)$$

其中 $ta+(1-t)b$ 表示 a 到 b 区间的任意值，其中 t 为 0-1 的实数。

利用导数判断凹的方向

导数就是函数图形的坡度，而坡度变换也能反映函数的凹方向：

• 若导数连续增大，函数是上凹。
• 若导数连续减小，函数是下凹。

也即：

• 若二阶导数是正数，函数是上凹。
• 若二阶导数是负数，函数是下凹。