【数学】交点计算

线与面相交

将线参数方程作为参数带入到面的一般式方程中

$\begin{aligned} \vec{n}^p_x(\vec{n}^l_xt+\vec{p}^l_x)+\vec{n}^p_y(\vec{n}^l_yt+\vec{p}^l_y)+\vec{n}^p_z(\vec{n}^l_zt+\vec{p}^l_z)-\vec{n}^p\cdot\vec{p}^p&=0\\ (\vec{n}^p_x\vec{n}^l_x+ \vec{n}^p_y\vec{n}^l_y+\vec{n}^p_z\vec{n}^l_z) t+(\vec{n}^p_x\vec{p}^l_x+\vec{n}^p_y\vec{p}^l_y+\vec{n}^p_z\vec{p}^l_z)-\vec{n}^p\cdot\vec{p}^p&=0\\ (\vec{n}^p\cdot\vec{n}^l)t+\vec{n}^p\cdot\vec{p}^l-\vec{n}^p\cdot\vec{p}^p&=0\\ (\vec{n}^p\cdot\vec{n}^l)t&=\vec{n}^p\cdot\vec{p}^p-\vec{n}^p\cdot\vec{p}^l\\ t&=\frac{\vec{n}^p\cdot\vec{p}^p-\vec{n}^p\cdot\vec{p}^l}{\vec{n}^p\cdot\vec{n}^l}\\ t&=\frac{\vec{n}^p\cdot(\vec{p}^p-\vec{p}^l)}{\vec{n}^p\cdot\vec{n}^l}\\ \end{aligned}$

再将 $t$ 带入回直线方程中即可获得交点位置。

线与球相交

• 线：$\vec{o}+\vec{n}*t$（可代表线上任意一点）
  • a：线起点
  • b：线法向
  • t：线上任意点离起点的距离
• 球：$(\vec{p}-\vec{c}) \cdot (\vec{p}-\vec{c}) = r^2$
  • p：球上任意点
  • c：球心
  • r：球半径

将线上的点带入到球公式中：

$\begin{aligned} (\vec{o}+t\vec{n}-\vec{c})\cdot(\vec{o}+t\vec{n}-\vec{c}) &= r^2 \\ (t\vec{n}+(\vec{o}-\vec{c}))\cdot(t\vec{n}+(\vec{o}-\vec{c})) &= r^2 \\ t^2\vec{n}\cdot\vec{n}+2t\vec{n}\cdot(\vec{o}-\vec{c})+(\vec{o}-\vec{c})\cdot(\vec{o}-\vec{c})-r^2&=0\\ \end{aligned}$

该方程为一元二次方程，可以用求根公式来解：

• $a=\vec{n}\cdot\vec{n}$
• $b=2\vec{n}\cdot(\vec{o}-\vec{c})$
• $c=(\vec{o}-\vec{c})\cdot(\vec{o}-\vec{c})-r^2$
• $discriminant=b^2-4ac$
• $t=\frac{-b \pm \sqrt{discriminant}}{2a}$

若设 $h=\vec{n}\cdot(\vec{o}-\vec{c})$，即 $b=2h$，则该公式还可以进一步化简：

$t=\frac{-2h \pm \sqrt{4(h^2-ac)}}{2a}=\frac{-h\pm (h^ 2 −ac)}{a}$

由于正向线性变化不影响判别式结果，故判别式也可以优化。最终的计算公式如下：

• $a=\vec{n}\cdot\vec{n}$
• $h=\vec{n}\cdot(\vec{o}-\vec{c})$
• $c=(\vec{o}-\vec{c})\cdot(\vec{o}-\vec{c})-r^2$
• $d=h^2-ac$
• $t=\frac{-h\pm d}{a}$

当 $d>0$ 时，交点有两个；$ d=0$ 时，交点有一个。将求出的 t 带入到直线方程即可求出交点：$\vec{o}+\vec{n}*t$。