【数学】积分

定义

函数的积分就是微分的反函数。积分是求一个函数值在一片范围内的总和，因此每个自变量处的函数值可以看作这个总和中的一个增量，而微分表示的也恰好是函数在当前位置的增量，因此改变视角，将要计算积分的原函数，看成是微分后的函数，那微分前的函数就是原函数的积分函数。

积分的写法如下：

$$\int f(x) dx = f'^{-1}(x) + C$$

注意！其中的 $dx$ 不是符号而是参数，本质上这个式子的意思是将无限个 $dy（也即f(x)） * dx$ 后相加。所以 $dx$ 有时也会参与到公式变形中。

其中 $C$ 叫积分常数，因为常数的微分是 0，因此不会出现在积分公式中，但原函数中可能出现任何常数，因此用积分常数的来表示。

积分法则

类似求导法则，积分也有预计算好的公式和法则提供使用，方便我们快速求解函数积分：
https://www.shuxuele.com/calculus/integration-rules.html

其中几个在微分中非线性变化的法则，对应到积分中则变成了“分部积分法”和“换元积分法”。

分布积分法

分布积分法用于求解两个表达式相乘情况的积分，公式如下：

$$\int u(x)v(x)dx=u(x)\int v(x)dx - \int u'(x) (\int v(x)dx) dx$$

关于该公式有几个小技巧：

1. 可以利用$f(x)=f(x)*1$的性质展开积分函数，将积分计算转为微分计算。
2. 不同的 u 和 v 选择会影响计算难度，选择时应确保 u 微分简单，v 积分简单。

例如通过技巧 1 计算 $\ln(x)$ 的积分：

$\begin{aligned} \int \ln(x)dx &=\int \ln(x) * 1 ~ dx\\ &=\ln(x) \int 1 dx - \int \ln'(x) \int 1~dx~dx\\ &=\ln(x)x-\int \frac{1}{x}*x~dx\\ &=x\ln(x)-x+C \end{aligned}$

换元积分法

换元积分法可以实现对一些特定格式函数的简化计算，公式如下：

$$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du~其中~u=g(x)$$

有时 $g(x)$ 和 $g'(x)$ 不会恰好同时出现，但我们可以凑微分：

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^2+1}dx &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1}2x~dx\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du~(u=x^2+1)\\ &= \frac{1}{2}\ln(u)+C\\ &= \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C \end{aligned}$

定积分

定积分是划清了范围的积分，从面积的角度来解释就是在一段区间内的函数值总量，相应的没划清范围的叫不定积分。若一个定积分的自变量范围为从 a 到 b，则该定积分的表示方法如下：

$$\int_a^bf(x)dx = \int f(x)dx~(x=b) - \int f(x)dx~(x=a)$$

定积分存在一些性质：

• 倒转区间：把区间倒转后，定积分是原来定积分的负值。
• 零长度的区间：若起点等于终点，定积分的值是零。
• 区间相加：将区间分为多份求解定积分后相加与完整区间的定积分值一致。

此外要注意的是，当利用换元积分法解定积分时，因为 dx 换成了 du，那积分范围也要改变：

$$\int_a^bf(u)u'dx = \int_{u(x)(x=a)}^{u(x)(x=b)}f(u)du$$

利用积分求解弧长

若有一曲线 $y=f(x)$，设 S 等于弧长，则根据积分思想（一条曲线本质是由无数条无线小的线段构成）和勾股定理（求线段长度）可得如下公式：

$\begin{aligned} S &= \lim_{n \to \infin} \sum_{i=1}^n \sqrt{ (\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}\\ &= \int \sqrt{ dx^2+dy^2}\\ &= \int \sqrt{ dx^2+dy^2} * \frac{1}{dx} * dx（构成标准积分形式）\\ &= \int \sqrt{ dx^2 * \frac{1}{dx^2} +dy^2 * \frac{1}{dx^2} } * dx\\ &= \int \sqrt{ 1 + (\frac{dy}{dx})^2 }~ dx\\ &= \int \sqrt{ 1 + f'(x)^2 } ~dx （弧长公式）\\ \end{aligned}$

更进一步，若曲线 x 的区间被固定，则弧长公式为：

$$\int_a^b \sqrt{ 1 + f'(x)^2 } ~dx$$

因此若曲线公式为 $y=x^{3/2} $ 且 $x \in [0,4]$ ，则其弧长为：

$\begin{aligned} S &= \int_0^4 \sqrt{ 1 + (\frac{d}{dx}x^{3/2})^2 } ~dx \\ &= \int_0^4 \sqrt{ 1 + (\frac{3}{2}x^\frac{1}{2})^2 } ~dx \\ &= \int_0^4 \sqrt{ 1 + \frac{9}{4}x } ~dx\\ &= \frac{4}{9} \int_1^{10} \sqrt{ u } ~du ~(u=1 + \frac{9}{4}x) （换元积分法）\\ &= \frac{4}{9} * \left. \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right|_1^{10}\\ &= \frac{4}{9} * (\frac{2}{3} 10^\frac{3}{2}-\frac{2}{3} 1^\frac{3}{2}) \\ &= \frac{8}{27} (10^\frac{3}{2}-1) \approx 9.073 \\ \end{aligned}$

其他类似积分的算法

积分的思想也可以显式用于实现一些计算方法，类似过去的割圆术一样：

• 左矩形法（容易偏小）
• 右矩形法（容易偏大）
• 中点矩形法（左右矩形法相结合）
• 梯形法（利用梯形近似）
• 辛普森公式（利用抛物线近似）

蒙特卡洛积分

蒙特卡洛积分法是利用概率论的思想，通过随机采样，当采样数达到一定程度时，其结果就能近似真实值（蒙特卡洛是一个赌城的名字）。

例如对函数 $f(x)$ 积分：

$$\int f(x)dx=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{f(x_k)}{fx(x_k)}$$

• $n$：采样数
• $x_k$：x 取值的随机变量
• $fx(x)$：概率密度函数

可以看出其思想类似于求出函数各个位置的均值，然后除上其概率，从而得到完整区域的总值。