【数学】极限

定义

$$\lim_{x \to a}f(x)=b$$

当 x 趋近于 a 时，$f(x)$ 趋近 b.

• $\lim_{x \to a^-}$：左极限，仅从数轴左侧趋近 a
• $\lim_{x \to a^+}$：右极限，仅从数轴右侧趋近 a

计算

计算极限的值，可以通过组合以下方法实现：

• 代入变量的值

  直接传入趋近值进行计算。但有时会出现除 0 的情况，因为趋近值本身的位置是无结果的。

• 进行因式分解

  对代数式进行因式分解简化后进行再尝试求值。如

  $\begin{aligned} \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}x+1=2 \end{aligned}$

• 利用共轭简化

  • 共轭：对于两个项的代数式，将其之间的正负号倒转，即是其的共轭。

  针对分数，使分子分母同成某一项的共轭来简化代数式。如：

  $\begin{aligned} \lim_{x \to 4}\frac{2-\sqrt{x}}{4-x} = \lim_{x \to 4}\frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{(4-x)(2+\sqrt{x})} = \lim_{x \to 4}\frac{(4-x)}{(4-x)(2+\sqrt{x})} = \lim_{x \to 4}\frac{1}{2+\sqrt{x}}=\frac{1}{4} \end{aligned}$

• 比较次数和系数

  对于有理函数求解无穷大的极限时，可以根据最高次数和其系数快速判断。如：

  $\lim_{x \to \infin}\frac{4x^3+x}{x^2-2x^3} = \frac{4}{-2}$

  不要把无穷当成实数，要注意无穷之间的影响。如：

  $\lim_{x \to \infin}(1+\frac{1}{x})^x = e \not= \lim_{x \to \infin}(1+ 0)^x$