【数学】圆

基本概念

• 半径：圆心到圆上任意一点的线段长度。
• 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段长度。
• 周长：圆形一周的长度。
• 圆周率：圆的周长与直径的比值，都为固定值，即$\frac{周长}{直径}=\pi$。

方程表示

利用圆上任意点到圆心距离相同的性质，配合勾股定理可得出圆的方程表示：

$$r = \sqrt{x^2+y^2}$$

$$y = \sqrt{r^2-x^2}$$

面积计算

https://zhuanlan.zhihu.com/p/456871806

求解半径为 r 的圆面积：

$=2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}~dx$

利用三角函数换元法可化简公式：

$\displaystyle \frac{x}{r}=\cos{\theta} \implies x=r\cos\theta \implies \frac{dx}{d\theta}=-r\sin\theta \implies dx=-r\sin\theta ~d\theta$

$\displaystyle \sin{\theta}= \frac{y}{r} \implies \frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r} = \sin{\theta} \implies \sqrt{r^2-x^2}=r\sin\theta$

故原式等于：

$\begin{aligned} 2\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} r\sin\theta*-r\sin\theta~d\theta &=-2r^2\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta~d\theta\\ &=-2r^2\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{1-cos{2\theta}}{2}~d\theta\\ &=-r^2( \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}1~d\theta- \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}cos{2\theta}~d\theta)\\ &=-r^2( \theta|_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}- \frac{\sin{2\theta}}{2}|_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}})\\ &=-r^2(-\pi-0)\\ &=\pi r^2\\ \end{aligned}$