【数学】球

基本概念

• 立体角：球面上的微分单位（角的三维引申）。

面积计算

利用球坐标系表示立体角，并配合微积分可以快速求出球的面积：

立体角是一个矩形，面积等于长宽的乘积。其长宽可用各自所在的圆，配合弧长公式求出，故其面积公式如下：

• 方位角增量：$r * d\theta$
• 天顶角增量：$r\sin\theta * d\phi$
• 微分立体角面积：$r^2\sin\theta d\theta d\phi$

将其积分后可得球的面积：

$\begin{aligned} r^2\int_0^{2\pi} (\int_0^\pi\sin{\theta}d\theta) d\phi &=r^2\int_0^{2\pi} (-\cos{\theta}|_0^{\pi}) d\phi \\ &=r^2\int_0^{2\pi} (-\cos{\pi})-(-\cos{0}) d\phi \\ &=r^2\int_0^{2\pi} 2 d\phi \\ &=2r^2 (\phi |_0^{2\pi})\\ &=2r^2 (2\pi-0)\\ &=4\pi r^2\\ \end{aligned}$